Question

如图，在等边三角形ABC中，以BC为直径的半圆O与AB边交于点D，DE⊥AC于E．
（1）求证：DE是半圆O的切线；
（2）延长ED，CB相交于点G，求AE：BG的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠ABC=60°，
∴∠DOB=∠C=60°．
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC于E，
∴OD⊥DE，
∴DE是半圆O的切线．

（2）解：∵∠ABC=∠C=∠A=60°，DE⊥AC，
∴∠ADE=30°，．
∵DE⊥AC于E，∠C=60°，
∴∠ADE=∠G=30°．
∵∠ADE=∠BDG，
∴∠G=∠BDG，
∴BD=BG．
∵OD∥AC，O是BC中点，
∴点D是AB中点，即DA=DB，
∴BG=DA．
∴==．
分析：（1）连接圆心和切点，易利用同位角相等证得OD∥AC，那么可证得OD⊥GE，那么DE是半圆O的切线；
（2）比例线段中AE在特殊的直角三角形中，那么应把BG进行转移，转移到相同的直角三角形中．注意利用前面得到的平行．
点评：连接圆心和切点是常用的辅助线作法；当图中已有一直角时，证直线为圆的切线，通常采用证平行得到相同的垂直，注意使用特殊的直角三角形进行求解．