Question

已知：如图，?ABCD中，E是BC中点，AE交BD于点F，设

BA

=

a

、

BC

=

b

．
（1）用x

a

+y

b

（x，y为实数）的形式表示

FA

；
（2）先化简，再直接在图中作：(-

1

2

a

+

b

)-(

a

+

1

4

b

)．

Answer 1

分析：（1）从图中不难看到△ADF∽△EBF，由于BE=

1

2

AC=

1

2

AD，那么AF=

2

3

EA或BF=

1

3

BD．再利用向量的减法，求得向量AF．
（2）先利用向量的加减法将(-

1

2

a

+

b

)-(

a

+

1

4

b

)化简，再根据实数与向量的积，画出向量，连接向量的首尾．

解答：解：（1）解一：

FA

=

2

3

EA

=

2

3

(

BA

-

BE

)=

2

3

(

a

-

1

2

b

)=

2

3

a

-

1

3

b

；（5分）
解二：

FA

=

BA

-

BF

=

BA

-

1

3

BD

=

a

-

1

3

(

a

+

b

)=

2

3

a

-

1

3

b

；（5分）

（2）(-

1

2

a

+

b

)-(

a

+

1

4

b

)=-

3

2

a

+

3

4

b

，（2分）
作图（3分），正确作出

3

2

a

、

3

4

b

以及最终结论各（1分）．

MN

=-

3

2

a

+

3

4

b

．

点评：本题考查平行向量、平行四边形的性质．解决本题的关键是利用相似三角形求得AF、FE，BF、FD的大小关系，理解平行向量的含义．