Question

已知直线与y轴交于点B（0，1），与抛物线交于x轴上一点A，且tan∠BAO=

1

2

，而抛物线的顶点为P（-3，-3）．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴的另一交点为C，求△PAC的面积．

Answer 1

分析：（1）设直线的解析式为：y=mx+n，把A和B的坐标分别代入求出m和n的值即可，设抛物线的解析式为：y=a（x-h）²+k，由题意可知h=-3，k=-3，再把A的坐标代入即可求出a的值，进而求出抛物线的解析式；
（2）由（1）中的抛物线解析式可设y=0，即可求出点C的坐标，进而求出AC的长，又因为三角形PAB中，AC边上的高是点P的纵坐标的绝对值，利用三角形的面积公式即可求出△PAC的面积．

解答：解：（1）设直线的解析式为：y=mx+n，
∵线与y轴交于点B（0，1），与抛物线交于x轴上一点A，且tan∠BAO=

1

2

，
∴OA=2，
∴A（-2，0），
把A和B的坐标分别代入y=mx+n得：

1=n 0=-2m+n

，
解得：

m= 1 2 n=1

，
∴直线的解析式为y=

1

2

x+1，
设抛物线的解析式为：y=a（x-h）²+k，
∵抛物线的顶点为P（-3，-3），
∴y=a（x+3）²-3，
把A（-2，0）代入得：0=a（-2+3）²-3，
∴a=3，
∴y=3（x+3）²-3；

（2）设y=0，则0=3（x+3）²-3，
∴x=-2或-4，
∴点C（-4，0），
∴OC=4
∴AC=OC-OA=2，
∴△PAC的面积为：

1

2

×AC×3=

1

2

×2×3=3．

点评：本题考查了用待定系数法求一次函数和用顶点式求二次函数的解析式以及一次函数和二次函数的交点问题和二次函数于坐标轴的交点问题以及三角形的面积公式，题目的综合性不小，难度不大．