Question

19．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，E是AB边上的一动点．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG，FG．
（1）求证：ME=MF；
（2）当AE=a（a为常数）时，求△EGF的面积．

Answer 1

分析 （1）四边形ABCD是正方形，正方形的四个边相等且对边平行，四个角都是直角，很容易证明△AME≌△DMF，从而可得出结论．
（2）设AE=a时，△EGF的面积为S_△EGF，有两种情况，当点E与点A重合时，即x=0时，可求出S_△EGF的值，当点E不与点A重合时，0＜a≤2，根据条件可证明Rt△AEM∽Rt△NGM，根据相似三角形的对应边成比例，可得出函数式．

解答 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=∠MDF，
在△AME和△DMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠FMD}\\{AM=DM}\\{∠A=∠MDF}\end{array}\right.$
∴△AME≌△DMF
∴EM=FM；

（2）解：当点E与点A重合时，如图，

a=0，S_△EGF=$\frac{1}{2}$AD×MG=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
当点E不与点A重合时，0＜a≤2，
∵EM=FM
在Rt△AME中，AE=a，AM=1，ME=$\sqrt{{a}^{2}+1}$$\sqrt{{a}^{2}+4}$，
∴EF=2ME=2$\sqrt{{a}^{2}+1}$
如图，

过M作MN⊥BC，垂足为N
则∠MNG=90°∠AMN=90°MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AEM∽Rt△NGM，
∴$\frac{AM}{MN}=\frac{ME}{MG}$
∴MG=2ME=2$\sqrt{{a}^{2}+1}$
∴S_△EGF=$\frac{1}{2}$EF×MG=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{{a}^{2}+1}$×2$\sqrt{{a}^{2}+1}$=2a²+2．
∴S_△EGF=2a²+2其中0＜a≤2，

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质定理，相似三角形的判定和性质定理，以及全等三角形的判定正方形的性质等．