Question

如图，已知△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，过点D作DF⊥BC，垂足为F，E为AC中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DF的长；
（3）在BC上是否存在一点P，使DP+EP最小？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接OD，

∵BC是直径，
∴∠CDB=90°，也可得出∠CDA=90°，
又∵点E是AC的中点，
∴ED=EC=EA，
∴∠ECD=∠EDC，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
又∵∠ECD+∠OCD=90°，
∴∠EDC+∠ODC=90°，
∴OD⊥ED，
故DE是⊙O的切线．
（2）∵AB=10，BC=8，AC=6，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠BCA=90°，
∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，
∴△BCD∽△BAC，
∴=，即=，
解得：BD=，
又∵∠B=∠B，∠BFD=∠BCA=90°，
∴△BDF∽△BAC，
∴=，即=，
解得：DF=．
（3）

∵∠DCF=∠BAC，∠DFC=∠BDC=90°，
∴△BAC∽△DCF，
∴=，即=，
解得：CF=，
∵∠BCA=∠CFD'=90°，∠EPC=∠D'PF，
∴△ECP∽△D'FP，
从而=，即==，
又∵CP+FP=CP=，
∴CP=．即点P的位置在距离C点右方远处．
分析：（1）连接DE，则可得ED=EA=EC，从而可得∠ECD=∠EDC，再由OC=OD，可得∠OCD=∠ODC，结合∠ECD+∠OCD=90°可证明OD⊥ED，继而可得出结论；
（2）根据△BCD∽△BAC，可得出BD的长度，然后根据△BDF∽△BAC，可求出DF的长度．
（3）延长DF交圆O于点H，连接ED'，则ED'与BC的交点即是点P的位置，然后求出CF，结合△ECP∽△D'FP可求出CP的长度．
点评：本题属于圆的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、轴对称求最短路径的问题，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是熟练各个知识点的内容，将所学的知识融会贯通．