Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是AC，BC的中点，点P从点A出发沿折线段AD-DE-EB以每秒3个单位长的速度向B匀速运动；点Q也从点A出发沿射线AB以每秒2个单位长的速度运动，当P与B重合时停止运动，点Q也随之停止运动．设点P，Q运动时间是t秒（t＞0）．
（1）当点P到达终点B时，求t的值；
（2）设△BPQ的面积为S，求出Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式；
（3）是否存在t值，使PQ∥DB？若存在，求出t值，不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知和勾股定理先求出BC，再由D，E分别是AC，BC的中点，求出AD、DE、BE，从而求出t；（2）由已知用t表示出AQ、AP、BQ，再由∠A=90°，通过面积公式求出S与t的函数关系式；
（3）通过假设，通过两种情况讨论即可求解．

解答：解：（1）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
由勾股定理得：BC=

AB2+AC2

=

62+82

=10，
又由D，E分别是AC，BC的中点，
∴AD=4，DE=3，BE=5，
∴当点P到达终点B时所用时间t=（4+3+5）÷3=4（秒），
答t的值为4秒．

（2）①如图，当点P在AD上（不包含D点），由已知得：AQ=2t，AP=3t，
∴BQ=AB-AQ=6-2t，
已知∠A=90°，
∴△BPQ的面积S=

1

2

BQ•AP=

1

2

（6-2t）•3t=-3t²+9t，
所以Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式为S=-3t²+9t．
②如图当点P在DE（包括点D、E）上，
过点P作PF⊥AB于F，
则PF=AD=4，
则△BPQ的面积S=

1

2

BQ•PF=

1

2

（6-2t）•4=12-4t，
所以此时Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式为S=12-4t．
③当点P在BE上（不包括E点），
由已知得：BP=3+4+5-3t=12-3t，
过点P作PF⊥AB于F，
∴PF∥AC，
∴△BPF∽△BCA，
∴

PF

AC

=

BP

BC

，
∴

PF

8

=

12-3t

10

，
∴PF=

48-12t

5

，
∴△BPQ的面积S=

1

2

BQ•PF=

1

2

（6-2t）•

48-12t

5

=

12

5

t2-

84

5

t+

144

5

，
所以此时Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式为S=

12

5

t2-

84

5

t+

144

5

．

（3）若PQ∥DB，则点P、Q必在DB同侧．
①当点Q在AB上，点P在AD上时，
∵AP：AQ=3t：2t=3：2，而AD：AB=4：6=2：3，
∴AP：AQ≠AD：AB，
则PQ不平行DB．
②因点Q沿射线AB运动，
所以点Q在AB延长线上，点P在CB上时，
即当3＜t＜4 时，PB=12-3t，PC=3t-7，BQ=2t-6．
若PQ∥DB，设直线PQ交DC与N，
∵DC∥AB，
∴△PCN∽△PBQ，
∴CN：BQ=PC：PB，
则CN=

(2t-6)(3t-7)

12-3t

；
又∵NQ∥DB，
∴CN：CD=CP：CB，
则CN=

3(3t-7)

5

，
所以

(2t-6)(3t-7)

12-3t

=

3(3t-7)

5

，
解得t=

66

19

（符合题意）．
综上情景①、②所述，当t=

66

19

时，PQ∥DB．

点评：此题考查的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质，关键是通过勾股定理三角形中位线定理求解，以及通过假设推出错误结论论证．