Question

如图，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数是a、b、c、d，且满足|a+9|=1，b=a+2，（c-16）²与|d-20|互为相反数．
（1）求a、b、c、d的值．
（2）如果点M为A、B两点的中点，点N到点C有5个单位长，求M、N两点之间的距离．
（3）若A、B两点以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时C、D两点以2个单位长度/秒向左匀速运动，并设运动时间为t秒，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使B与C的距离是A与D的距离的4倍？若存在，求时间t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据非负数的性质，及相反数的定义，可得出a、b、c、d的值；
（2）根据（1）的结果讨论点M的坐标，然后讨论点N在点C的左边或右边，分别计算即可．
（3）分两种情况，①点A运动到点D的左边，点B运动到点D的右边，②点A、点B均在点D的右边，然后分别表示出BC、AD的长度，建立方程，求解即可．

解答：解：（1）

|a+9|=1 b=a+2

，
解得：

a=-10 b=-8

或

a=-8 b=-6

，
∵（c-16）²与|d-20|互为相反数，
∵（c-16）²≥0，|d-20|≥0，
∴c-16=0，d-20=0，
可得：c=16，d=20；
（2）①当a=-10，b=-8时，点M对应的数为-9，当点N在点C左边时，点N对应的数为11，
此时M、N两点之间的距离为20；
②当a=-10，b=-8时，点M对应的数为-9，当点N在点C右边时，点N对应的数为21，
此时M、N两点之间的距离为30；
③当a=-8，b=-6时，点M对应的数为-7，当点N在点C左边时，点N对应的数为11，
此时M、N两点之间的距离为18；
④当a=-8，b=-6时，点M对应的数为-7，当点N在点C右边时，点N对应的数为21，
此时M、N两点之间的距离为28；

（3）当a=-10，b=-8时，
①点A运动到点D的左边，点B运动到点D的右边，此时

7

2

＜t≤

15

4

，
A的值为6t-10，B的值为6t-8，C的值为16-2t，D的值为20-2t，
AD=20-2t-（6t-10）=30-8t，BC=6t-8-（16-2t）=8t-24，
由题意得：8t-24=4（30-8t），
解得：t=

18

5

，
∵

7

2

＜t≤

15

4

，
∴t不存在．
②点A、点B均在点D的右边，此时t＞

15

4

，
A的值为6t-10，B的值为6t-8，C的值为16-2t，D的值为20-2t，
AD=6t-10-（20-2t）=8t-30，BC=6t-8-（16-2t）=8t-24，
由题意得，8t-24=4（8t-30），
解得：t=4，满足t＞

15

4

；
综上可得存在时间t=4，使B与C的距离是A与D的距离的4倍．

当a=-8，b=-6时，
①点A运动到点D的左边，点B运动到点D的右边，此时

13

4

＜t≤

7

2

，
A的值为6t-8，B的值为6t-6，C的值为16-2t，D的值为20-2t，
AD=20-2t-（6t-8）=28-8t，BC=6t-6-（16-2t）=8t-22，
由题意得：8t-22=4（28-8t），
解得：t=

67

20

，满足

13

4

＜t≤

7

2

，
故t=

67

20

．
②点A、点B均在点D的右边，此时t＞

7

2

，
A的值为6t-8，B的值为6t-6，C的值为16-2t，D的值为20-2t，
AD=6t-8-（20-2t）=8t-28，BC=6t-6-（16-2t）=8t-22，
由题意得，8t-22=4（8t-28），
解得：t=

15

4

，满足t＞

7

2

；
综上可得存在时间t=4或t=

15

4

，使B与C的距离是A与D的距离的4倍．

点评：本题考查了一元一次方程的应用及动点问题的计算，解答本题的前提是求出a、b、c、d的值，关键是利用分类讨论思想，列方程求解，难度较大．