Question

（2013•济宁三模）如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解．
（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件．
（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论．找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可．

解答：解：（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，
∴y=2x-6，
令y=0，解得：x=3，
∴B的坐标是（3，0）．
∵A为顶点，
∴设抛物线的解析为y=a（x-1）²-4，
把B（3，0）代入得：4a-4=0，
解得a=1，
∴y=（x-1）²-4=x²-2x-3．

（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=-x．
设P（m，-m），则-m=m²-2m-3，解得m=

1- 13

2

（m=

1+ 13

2

＞0，舍），
∴P（

1- 13

2

，

13 -1

2

）．

（3）①如图，当∠Q₁AB=90°时，△DAQ₁∽△DOB，
∴

AD

OD

=

DQ1

DB

，即

5

6

=

DQ1

3 5

，∴DQ₁=

5

2

，
∴OQ₁=

7

2

，即Q₁（0，-

7

2

）；
②如图，当∠Q₂BA=90°时，△BOQ₂∽△DOB，
∴

OB

OD

=

OQ2

OB

，即

3

6

=

OQ2

3

，
∴OQ₂=

3

2

，即Q₂（0，

3

2

）；
③如图，当∠AQ₃B=90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ₃∽△Q₃EA，
∴

OB

Q3E

=

OQ3

AE

，即

3

4-OQ3

=

OQ3

1

，
∴OQ₃²-4OQ₃+3=0，∴OQ₃=1或3，
即Q₃（0，-1），Q₄（0，-3）．
综上，Q点坐标为（0，-

7

2

）或（0，

3

2

）或（0，-1）或（0，-3）．

点评：本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形与相似三角形应用等重点知识．（3）题较为复杂，需要考虑的情况也较多，因此要分类进行讨论．