Question

如图，AB为⊙O直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．

    （1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．

（2）若cos∠C=，DF=3，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵ AB⊥CD，∴ ∠AED=∠BEC=90°

M是AD的中点，∴ ME=AM，即有∠MEA=∠A 

又∵ ∠MEA=∠BEN，∠C=∠A

        ∴ ∠C=∠BEN 

又∵ ∠C+∠CBE=90°∴ ∠CBE+∠BEN=90°

∴ ∠BNE=90°，即MN⊥BC   

（2）连接BD

∵ ∠BCD与∠BAF同对  ∴ ∠C=∠A

∴ cos∠A=cos∠C=

∵ BF为⊙O的切线  ∴ ∠ABF=90°

在Rt△ABF中，cos∠A=

设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得：BF=3x

又∵ AB为⊙O的直径，∴ BD⊥AD

∴ △ABF∽△BDF∴ 即，

∴ 直径AB=4x=4×，则⊙O的半径为