Question

【题目】如图，二次函数的图像与轴交于点，（在左侧），与轴正半轴交于点，点在抛物线上，轴，且．

（1）求点，的坐标及的值；

（2）点为轴右侧抛物线上一点．

①如图①，若平分，交于点，求点的坐标；

②如图②，抛物线上一点的横坐标为2，直线交轴于点，过点作直线的垂线，垂足为，若，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）①；②或．

【解析】

（1）令y＝0，解方程即可求出点A、B的坐标，由此可求得AB的长及对称轴，再根据即可求得OD长，根据对称轴即可求得CD=6，再根据勾股定理即可求得点C坐标，将点C坐标代入函数关系式从而可求得a的值；

（2）①作于，根据平分可得，进而设，根据可得方程求解即可求得点E坐标为，再用待定系数法求得直线OP的函数关系式，与二次函数关系式联立方程组即可求得点P坐标；

②分两种情形（Ⅰ）若点在点上方，如图②，（Ⅱ）若点在点下方，如图③，分别列出方程即可解决．

解：（1）令，则

，

∴，，

∴，．

∴，抛物线的对称轴为直线，

∵

∴，

∵点C在y轴上且轴，

∴，，

∴，

∴点，

∴，

∴．

（2）①作于，

∵平分，，，

∴，

设，

∵，

∴，

∴，

∴

设对应函数表达式为，

把代入，得，

∴对应函数表达式为．

∵，

∴二次函数表达式为，

∴，

解得或（舍去）

∴点．

②∵当时，，∴点．

设直线的函数表达式为

把点、点代入，

得

解得

∴直线的函数表达式为，

∴点，

∴．

∵，

∴，

∴．

（Ⅰ）若点在点上方，如图②．

过点作轴的平行线，交轴于点．

∵，

∴轴，

∵轴，

∴点与点重合，，

∴，

∴，

∴设，，

∵轴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴或（舍去），

∴．

把代入

得，．

∴．

（Ⅱ）若点在点下方，如图③．

过点作轴，交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，交轴于点．

∴，

∴四边形是正方形，

∴

∵轴，

∴，，

∴，

∴设，，

∵，，

∴，

又∵，

∴，

∴

∴，，

∴，，

∴，

代入，得

，

∴（舍去），，

∴，

代入得

，

∴．

综上所述，或．