Question

已知△ABC中，BC＞AC，CH是AB边上的高，且满足

AC2

BC2

=

AH

BH

，试探讨∠A与∠B的关系，井加以证明．

Answer 1

分析：由题设条件易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A与∠B的关系，解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件．

解答：解：（1）若垂线H在线段AB上，如图，

由AH²+CH²=AC²，BH²+CH²=BC²，得，
BH²-AH²=BC²-AC²，
即（BH+AH）（BH-AH）=BC²-AC²
AB=

BC2-AC2

BH-AH

，由

AC2

BC2

=

AH

BH

，得

BC2-AC2

BC2

=

BH-AH

BH

，
即

BC2-AC2

BH-AH

=

BC2

BH

，所以AB=

BC2

BH

即

AB

BC

=

BC

BH

，
又∠B是△ABC和△CBH的公共角，所以△ABC∽△CHB，
∠ACB=∠CHB=90°，∠A+∠B=90°．

（2）若垂足H在BA的延长线，如图作边CA关于CH的对称线段CA^′，
由（1）的结论知：∠A^′+∠B=90°，而∠A^′=180°-∠A，
代入上式得∠A-∠B=90°．
综上所述（1）（2），知∠A+∠B=90°或∠A-∠B=90°．

点评：本题考查相似三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，勾股定理等．