Question

【题目】将两个等腰Rt△ADE，Rt△ABC（其中∠DAE=∠ABC=90°，AB=BC，AD=AE）如图放置在一起，点E在AB上，AC与DE交于点H，连接BH、CE，且∠BCE=15°，下列结论：①AC垂直平分DE；②△CDE为等边三角形；③tan∠BCD=；④，其中正确的结论是____________ (填写所有正确结论的序号)

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

利用等腰直角三角形的性质得出∠DAC＝∠BAC即可判断出①正确；再用等腰直角三角形的内角的关系即可得出∠DCE＝60°，即可得出②正确，判断出∠BCD＝75°＝∠BEC即可判断出③正确，设出AH＝x，利用等腰直角三角形和等边三角形的性质即可得出CH，EH，AB，BE最后用三角形的面积公式即可得出④正确．

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，

∴∠DAC＝∠BAC＝45°，

∵AD＝AE，

∴AC垂直平分DE，∴①正确，

∵AC垂直平分DE，

∴DC＝EC，∠DAC＝∠EAC，

∵∠BCE＝15°，

∴∠ACE＝30°，

∴∠DCE＝2∠ACE＝60°，

∴△CDE是等边三角形，∴②正确；

∵∠DCE＝60°，∠BCE＝15°，

∴∠BCD＝75°，

∵∠BEC＝90°15°＝75°，

∴∠BCD＝∠BEC，

在Rt△BCE中，tan∠BEC＝，

∴tan∠BCD＝，∴③正确；

设AH＝x，

在Rt△AEH中，HE＝AH＝x，AE＝x，

在Rt△CEH中，∠ECH＝30°，

∴CH＝EH÷tan30°=EH＝x，CE＝2HE＝2x，

∴AC＝AH＋CH＝（＋1）x，

在Rt△ABC中，BC＝AB＝AC×sin45°=AC＝（＋1）x＝x，

∴BE＝ABAE＝x，

∴S△BCE＝BEBC＝×xx＝x2

S△EHC＝EHCH＝xx＝x2，

∴，∴④正确，

即：正确的有①②③④，

故答案为：①②③④．