Question

【题目】综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，抛物线的对称轴交抛物线于点，交轴于点，交直线于点．

（1）求抛物线的函数表达式及其对称轴：

（2）点是线段上一点，且，求点的坐标；

（3）若点是抛物线上任意一点，点是直线上任意一点，点是平面上任意一点，是否存在这样的点，，，使得以点，，，为顶点的四边形是正方形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；x=2；（2）；（3）Q点的坐标为．

【解析】

（1）将点B、C坐标代入即可得出抛物线解析式，再根据求对称轴公式求对称轴即可；

（2）先根据直线解析式以及抛物线解析式求出点F的坐标，得出，再根据可得出，从而确定点G的坐标；

（3）通过分析当CP为正方形的边且M位于直线下方抛物线上时可得出以点，，，为顶点的四边形是正方形，画出示意图，再根据正方形的性质求解即可．

解：（1）∵抛物线经过，，

∴解得

∴抛物线的函数表达式为．

∴抛物线的对称轴为直线．

（2）∵抛物线与轴交于点，

∴当时，．

∴．

设直线的函数表达式为．

把，代入，得解得

∴直线的函数表达式为．

当时，，∴．

∵，

∴，．

在中，，

∴．

∴．

在中，，

∴．

∴，即．

∴．

∴．

（3）存在，，理由如下：

若以点，，，为顶点的四边形是正方形，则相邻的两边垂直且相等．

当CP为对角线时，则需，不存在符合条件的Q点；

当CP为对角线，CM为边时，若点M位于直线AC上方抛物线上时，同理需要，不存在符合条件的Q点；

点M位于直线AC下方抛物线上时，即点B与点M重合时，存在点Q，使以点，，，为顶点的四边形是正方形．

过点B作，

∵

∴

∴

∵以，，，为顶点的四边形是正方形

∴，关于BC对称

过点D作

∴

∵直线AC的解析式为

∴当时，

∴

∴