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    已知直线y=-x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一个动点P由原点O向点A运动（与点A不重合），速度为每秒1个单位，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，以点C为顶点的抛物线y=-4（x+m）2+n与直线AB的另一交点为D，与x轴交于点E（点E在抛物线对称轴的右侧）．设点P运动时间为t秒．
    （1）直接写出点A的坐标，并求t=1时抛物线的解析式；
    （2）当t为何值时，以C，P，E为顶点的三角形与AOB相似？
    （3）①求CD的长；
         ②设△COD的OC边长的高为h，当t为何值时，h的值最大？

    【答案】分析：（1）令y=0，求出x的值即可得到点A的坐标，求出t=1时的x、y的值，得到点C的坐标，然后代入抛物线解析式即可得解；
    （2）根据直线的解析式求出点B的坐标，然后求出OA、OB的长，再求出OP的长，然后根据直线解析式求出PC的长，从而得到点C的坐标，然后表示出抛物线解析式，再分①PE与OA是对应边时，点E、A重合，然后把点A的坐标代入抛物线求解即可得到t的值；②PE与OB是对应边时，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出PE的长，然后得到点E的坐标，再把点E的坐标代入抛物线解析式求解即可得到t的值；
    （3）①联立抛物线与直线解析式求出点D的横坐标，再过点D作DH⊥PC于H，从而求出DH的长，再根据△DCH和△ABO相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可得到CD的长；
    ②过点O作OF⊥AB于F，过点F作FG⊥x轴于点G，根据勾股定理列式求出AB，再根据△AOB的面积求出OF的长，然后根据CD的长度不变，是定值可知OC的长度最小时，OC边上的高h最大，此时OF、OC重合，然后根据△OFG和△BAO相似，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
    解答：解：（1）令y=0，则-x+2=0，解得x=4，
    所以，点A（4，0），
    ∵点P的运动速度是每秒1个单位，
    ∴t=1时，x=1，y=-+2=，
    ∴点C的坐标为（1，），
    ∴抛物线解析式为y=-4（x-1）2+；

    （2）令x=0，则y=2，
    所以，点B的坐标为（0，2），
    ∴OA=4，OB=2，
    ∵OP=t，
    ∴PC=-t+2，
    ∴C（t，-t+2），
    ∴y=-4（x-t）2-t+2，
    ①PE与OA是对应边时，此时点E与点A重合，
    ∴-4（4-t）2-t+2=0，
    整理得，（t-4）（4t-16+）=0，
    解得t1=4（为点C，舍去），t2=，
    ②PE与OB是对应边时，∵△PCE∽△OAB，
    ∴=，
    即=，
    解得PE=-t+1，
    ∴OE=t-t+1=t+1，点E的坐标为（t+1，0），
    ∵点E在抛物线上，
    ∴-4（t+1-t）2-t+2=0，
    整理得，（t-4）（t-2）=0，
    解得t1=4（为点C，舍去），t2=2，
    综上所述，当t=2或t=时，以C，P，E为顶点的三角形与AOB相似；

    （3）①联立消掉y得，-4（x-t）2-t+2=-x+2，
    整理得，（x-t）（-4x+4t+）=0，
    解得x1=t，x2=t+，
    则点D的横坐标为t+，过点D作DH⊥PC于H，则DH=，
    ∵PC⊥x轴，DH⊥PC，
    ∴△DCH∽△ABO，
    ∴=，
    ∵OA=4，OB=2，
    ∴AB===2，
    ∴=，
    解得CD=；
    ②过点O作OF⊥AB于F，过点F作FG⊥x轴于点G，
    ∵不论点P在何处，CD的长不变，
    ∴△ODC的面积也不变，
    当OC长最小时，OC边上的高h最大，
    ∵S△AOB=×2•OF=×2×4，
    ∴OC=OF=，
    ∵△OFG∽△BAO，
    ∴=，
    即=，
    解得OG=，
    即t=时，h的值最大．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了直线与坐标轴的交点的求解，相似三角形对应边成比例的性质，勾股定理，利用等积法求三角形的高，综合性较强，难度较大，（2）要分情况讨论，（3）作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
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