Question

如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：
①AC-BE=AE；②∠BAD-∠C=∠DAE；③∠DAE=∠C；④AC=2BD，
其中正确的是（　　）

A．①②③

B．①③④

C．①②④

D．②③④

Answer 1

∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠2=∠C，
∴BE=CE，
∵AC-CE=AE，
∴AC-BE=AE，故①正确；

延长AD交BC与F，
∵AD⊥BE，
∴∠ADB=∠FDB=90°，
∵在△ABD和△FBD中，

∠ADB=∠FDB=90° BD=BD ∠1=∠2

，
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴∠BAD=∠AFB，
在△ACF中，∠DAE=∠AFB-∠C，
∴∠BAD-∠C=∠DAE，故②正确；

在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠1=90°-∠C，
∴90°-∠C-∠C=∠DAE，
∴∠DAE=90°-2∠C，故③错误；

取CF的中点G，连接DG，则DG是△ACF的中位线，
∴DG∥AC，AC=2DG，
∴∠C=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BD=DG，
∴AC=2BD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④．
故选C．