Question

如图所示，已知O为正三角形ABC的高AD、BE、CF的交点，P是△ABC所在平面上的任一点，作PL⊥AD于L，PM⊥BE于M，PN⊥CF于N．试证：PL、PM、PN中较大的一条线段等于其它两条线段的和．

Answer 1

解：∵PL⊥AD，PN⊥CF知P、L、O、N、四点共圆．
同理P、L、N、M四点共圆，
∴P、L、O、N、M五点共圆．
∵O既是正△ABC的垂心，又是△ABC的内心，
∴∠AOE=∠COE=60°，
再由共圆的条件得到∠MNL=∠LOM=60°，∠MLN=∠MON=60°．
∴∠MNL=∠MLN=60°，
∴△LNM是等边三角形，
∵点P是劣弧LM上一点，
∴PN=PL+PM．
分析：因为题设中有正三角形和垂直的条件，由PL⊥AD，PN⊥CF知P、L、O、N、四点共圆，同理P、L、N、M四点共圆，因此P、L、O、N、M五点共圆，再求出△LMN为正三角形即可得出结论．
点评：本题考查的是四点共圆的条件及等边三角形的性质，此题综合性较强，难度较大．