Question

16、求证：三个连续自然数的立方和能被9整除．

Answer 1

分析：可以设三个数分别是a-1，a，a+1．即可表示出三个数的立方和，其中a是整数，除以3时，余数一定是0或1或2，分三种情况讨论即可求证．

解答：证明：设这三个自然数分别是a-1，a，a+1．
则（a-1）³+a³+（a+1）³=3a³+6a，
=3a（a²+2），
①a=3n则原式可被9整除，
②a=3n+1，3a可被3整除，a²+2=9n²+6n+3=3（3n²+2n+1）也可被3整除，
③a=3n+2，a²+2=9n²+12n+6=3（3n²+6n+2）也可被3整除．
故三个连续自然数的立方和能被9整除．

点评：本题主要考查了数的整除，正确理解一个整数除以3时，余数一定是0或1或2，从而正确进行讨论是解题的关键．