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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，点A（-1，0），点C（0，
    		3
    ）抛物线y=ax2+
    2
    		3
    3
    x    +c（a≠0）经过A、C两点．与x轴交于点B
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MOB的周长最小？若存在，求出的周长最小精英家教网值．【提示：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-
    b
    2a
    ，顶点坐标是（-
    b
    2a
    ，
    4ac-b2
    4a
    ）】
    分析：（1）抛物线解析式中有两个待定系数a，c，根据直线AC解析式求点A、C坐标，代入抛物线解析式即可；
    （2）分析不难发现，△ABP的直角顶点只可能是P，设P（a，b），作PE⊥AB，利用△APE∽△PBE，利用比例线段建立等量关系求出点P的坐标．
    （3）由于B，O是定点，BO的长一定，实际上就是求BM+OM最小，找出点B关于直线AC的对称点F，连接OF，交AC于点M，点M即为所求，由（2）可知，BC⊥AC，延长BC到F，使BC=FC，作FG⊥AB，交AB于点G，利用中位线的性质可得FG的长，在Rt△GFO中利用勾股定理就可以求出OF的长，从求出△OMB的周长．
    解答：解：（1）由题意，得
    0=a-
    2
    		3
    3
    +c
    		3
    =c
    解得
    a=-
    		3
    3
    c=
    		3

    抛物线的解析式为：y=-
    		3
    3 
    x2+
    2
    		3
    3
    x+
    		3
    ；

    （2）∵抛物线与x轴交于点B
    ∴当y=0时，则
    0=-
    		3
    3
    x2+
    2
    		3
    3
    x+
    		3
    解得；
    x1=-1，x2=3，
    ∴B（3，0），
    设P（a，b），则有b=-
    		3
    3
    a2+
    2
    		3
    3
    a+
    		3
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    则有P（a，-
    		3
    3
    a2+
    2
    		3
    3
    a+
    		3
    ），
    ∴AE=a+1，BE=3-a，PE=-
    		3
    3
    a2+
    2
    		3
    3
    a+
    		3
    ．
    如图：作PE⊥AB于E，
    ∴∠AEP=∠BEP=90°
    ∵∠APB=90°
    ∴△APE∽△PBE
    ∴
    AE
    PE
    =
    PE
    BE

    ∴
    a+1
      -
    		3
    3
    a2+
    2
    		3
    3
    a+
    		3
    =
    -
    		3
    3
    a2+
    2
    		3
    3
    a+
    		3
    3-a

    解得：a1=0，a2=3，（在x轴上，舍去）a2=2，a4=-1（在x轴上，舍去）
    ∴P（0，
    		3
    ）或P（2，
    		3
    ）．

    （3）由（2）知AC⊥BC，延长BC至点F，使CF=BC，连接OF交AC于点M，连接BM，作FG⊥AB于G，精英家教网
    ∴FG∥OC，△MOB的周长最小．
    C△MOB=BO+MO+MB=BO+OF
    ∵CF=BC
    ∴GO=BO
    ∴CO是△BFG的中位线
    ∴GF=2OC
    ∵B（3，0），C（0，
    		3
    ）
    ∴0B=3，OC=
    		3

    ∴OG=3，GF=2
    		3
    ，在Rt△GFO中，由勾股定理，得
    OF=
    		(2
    		3
    )    2    +32

    ∴OF=
    		21

    ∴C△MOB=
    		21
    +3
    ∴C△MOB的最小值是：
    		21
    +3．
    点评：本题是一道二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，直角三角形的判定及性质，轴对称的运用，勾股定理的运用等知识点．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
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    k
    x
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    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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