Question

如图：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=6，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．
（1）试确定当CP=3时，点E的位置；
（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）当CP=3时，易知四边形ADPB是矩形，由DP⊥BC，PE⊥DP，得出点E与点B重合；
（2）作DF⊥BC，F为垂足．欲求y关于自变量x的函数关系式，分为两种情况点P在BF上，点P在CF上，通过证明△PEB∽△DPF分别得出．

解答：解：（1）作DF⊥BC，F为垂足．
当CP=3时，
∵四边形ADP（F）B是矩形，则CF=3，
∴点P与F重合．
又BF⊥FD，
∴此时点E与点B重合；

（2）当点P在BF上时，
∵∠EPB+∠DPF=90°，∠DPF+∠PDF=90°，
∴∠EPB=∠PDF，
又∠B=∠PFD=90°，
∴△PEB∽△DPF，
∴

BE

BP

=

FP

FD

，
∴

y

12-x

=

x-3

6

，
∴y=

(12-x)(x-3)

6

=-

x2-15x+36

6

；
当点P在CF上时，同理可求得y=

x2-15x+36

6

．

点评：本题综合考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质与函数的关系，解题时注意数形结合的运用和分类讨论的数学思想的运用．