Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，O₁A切⊙O₂于点A，过点O；作⊙O₂的割线O₁HD经过点O₂，交AB于点E，BC是⊙O₂的直径．
（1）求证：O₁E•AC=AE•AB；
（2）若O₁E=1，AC=8，求O₁H的长．

Answer 1

分析：（1）欲证O₁E•AC=AE•AB，可由△O₁AE∽△BCA得出；
（2）求O₁H的长，可以O₁O₂-O₂H，即O₁E+O₂E-O₂H，由题意求出相关线段即可．

解答：（1）证明：∵⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点
∴O₁O₂⊥AB
∵BC是⊙O₂的直径
∴∠BAC=∠O₁AE=90°
∵O₁A切⊙O₂于点A
∴∠O₁AE=∠C
∴△O₁AE∽△BCA
∴O₁E：AB=AE：AC
∴O₁E•AC=AE•AB；

（2）解：∵⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点
∴AE=EB=0.5AB
∴AE=2
∵∠BAC=∠O₁AE=90°
∴O₁O₂∥AC，O₂B=O₂C
∴O₂E=0.5AC=4，O₂B²=BE²+O₂E²=20
∴O₂B=2

5

∴O₁H=O₁O₂-O₂H=O₁E+O₂E-O₂H=5-2

5

．

点评：本题考查了相似三角形的判断和性质，切线的性质，勾股定理等知识．有一定难度．