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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，A、B两点的坐标分别为（4，0），（0，3），动点P从O点出发沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从B点出发以每秒一个单位的速度向O点运动，点P、Q分别从精英家教网O、B同时出发，当Q运动到原点O时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
    （1）设△POQ的面积为s，求s与t的函数关系式；
    （2）当线段PQ与AB相交于点E，且
    PE
    QE
    =
    1
    3
    时，求∠QPO的正切值；
    （3）当t为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形与△ABO相似．
    分析：（1）根据题意，用t表示OP，OQ的长，用三角形的面积公式表示s，结合图形写出t的范围；
    （2）根据已知比例，构造平行线，作QG∥AB，利用平行线分线段成比例定理求OG，再用比例代换的方法求t，在直角△OPQ中求∠QPO的正切值；
    （3）由于∠AOB=∠POQ，那么两个三角形相似，有两种对应关系：△PQO∽△ABO，△QPO∽△ABO，按照对应边的比相等，分别求解．
    解答：精英家教网解：（1）∵OP=2t，BQ=t，
    ∴OQ=3-t，
    ∴S=
    1
    2
    •2t（3-t）=t（3-t）（0≤t≤3）；

    （2）如图所示：作QG∥AB，
    ∴
    OQ
    OB
    =
    OG
    OA
    ，
    ∴
    3-t
    3
    =
    OG
    4
    ，
    ∴OG=4-
    4
    3
    t，
    ∵
    PE
    QE
    =
    1
    3
    ，
    ∴
    PA
    AG
    =
    1
    3
    ，
    ∴
    2t-4
    4-(4-
    4t
    3
    )
    =
    1
    3
    ，
    ∴t=
    18
    7
    ，
    ∴tan∠QPO=
    OQ
    OP
    =
    1
    12
    ；

    （3）∵∠AOB=∠POQ，
    ∴当
    OQ
    OB
    =
    OP
    OA
    或
    OQ
    OA
    =
    OP
    OB
    时，两三角形相似，即
    ∴
    3-t
    3
    =
    2t
    4
    或
    3-t
    4
    =
    2t
    3
    ，
    ∴t=
    6
    5
    或t=
    9
    11
    ，
    ∴当t=
    6
    5
    或t=
    9
    11
    时，以O、P、Q为顶点的三角形与△ABO相似．
    点评：本题考查了面积的求法，利用平行构造相似比、相似三角形及其比例，根据题意寻找相似三角形的条件，本题还运用了分类讨论的思想，具有较强的综合性．
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    		5
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    （1）求反比例函数的解析式；
    （2）设点A横坐标为m，△ABO面积为S，求S与m的函数关系式，并求出自变量的取值范围．

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    8-2
    		2
    和8+2
    		2
    8-2
    		2
    和8+2
    		2
    ．

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