Question

问题（一）：观察函数y=

1

2

x2-x-4的图象，填空：当函数值y＞0时，x的取值范围是

 

；当函数值y＜0时，x的取值范围是

 

．
问题（二）：已知二次函数y=（p-3）x²+（10-p²）x+q，当1＜x＜5时，函数值y为正，当x＜1或x＞5时，函数值y为负．
（Ⅰ）求二次函数的解析式；
（Ⅱ）设直线y=

1

2

x+1与二次函数的图象交于点A、B．
（1）求点A、B的坐标，并在给定的直角坐标系中画出直线及二次函数的图象；
（2）设平行于y轴的直线x=t、x=t+2分别交线段AB于点E、F，交二次函数的图象于点H、G（H、G不与A、B重合）．
①求t的取值范围；
②是否能适当选择点E的位置，使四边形EFGH是平行四边形？如果能，求出此时点E的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（一）看二次函数图象与x轴的交点即可得到答案；
（二）（Ⅰ）根据x的取值范围对应的函数值，可以知道函数图象开口向下和与x轴的交点，由此得到两个等式和一个不等式，解此可得自变量，那么函数解析式可得；
（Ⅱ）（1）把直线的解析式和二次函数的解析式组成一个方程组，解此方程组得A、B的坐标；
（2）①根据A、B的坐标确定t的取值范围；
②求出EH和FG的距离，即可确定四边形EFGH是平行四边形，点E的坐标可求．

解答：解：（一）x＜-2或x＞4；-2＜x＜4；

（二）（Ⅰ）二次函数当1＜x＜5时，函数值为正，当x＜1或x＞5时函数值为负，说明二次函数图象经过点（1，0）和（5，0）且开口向下，
即

(p-3)+(10-p2)+q=0 25(p-3)+5(10-p2)+q=0 p-3＜0.

，
解得p=2，q=-5，
∴二次函数的解析式为y=-x²+6x-5；

（Ⅱ）（1）解方程组

y= 1 2 x+1 y=-x2+6x-5

，
得点A、B的坐标分别为(

3

2

，

7

4

)、（4，3）．

（2）①由题意知

t＞ 3 2 t+2＜4

，
∴t的取值范围是

3

2

＜t＜2．
②点E的纵坐标为

1

2

t+1，点H的纵坐标为-t²+6t-5，
EH=（-t²+6t-5）-（

1

2

t+1）=-t2+

11

2

t-6，
点F的纵坐标为

1

2

t+2，点G的纵坐标为-t²+2t+3，
FG=（-t²+2t+3）-（

1

2

t+2）=-t2+

3

2

t+1，
∵EH∥FG，
∴要使四边形EFGH是平行四边形，只要EH=FG，
即-t2+

11

2

t-6=-t2+

3

2

t+1，
解得t=

7

4

，满足条件

3

2

＜t＜2．
∴当t=

7

4

时，四边形EFGH是平行四边形，
此时点E的坐标为(

7

4

，

15

8

)．

点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合运用，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点、抛物线与x轴和直线的交点，难度较大．