Question

（1）探究填空：如果在?ABCD中AM=

1

2

AB，CN=

1

2

CD，那么四边形AMCN是

平行四边形

；
①当AM=

1

3

AB，CN=

1

3

CD时，四边形AMCN是

平行四边形

；
②如果AM=

1

m

AB，CN=

1

m

CD（m＞1）时，四边形AMCN是

平行四边形

；
（2）你能得出一个一般性的结论吧？如果能请你写出一般性的结论，并证明．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质（平行四边形的对边平行且相等）推知AB=CD、四边形AMCN的对边AM∥CN；然后根据已知条件知四边形AMCN的对边AM=CN；最后由平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证得四边形AMCN是平行四边形；
（2）根据（1）的证明过程知：在同一平面内，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

解答：解：（1）∵在?ABCD中，AB

∥

.

CD，
∴在四边形AMCN中，AM∥CN；
又∵AM=

1

2

AB，CN=

1

2

CD，
∴AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形；
①∵在?ABCD中，AB

∥

.

CD，
∴在四边形AMCN中，AM∥CN；
又∵AM=

1

3

AB，CN=

1

3

CD，
∴AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形；
②∵在?ABCD中，AB

∥

.

CD，
∴在四边形AMCN中，AM∥CN；
又∵AM=

1

m

AB，CN=

1

m

CD，
∴AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形；

（2）在同一平面内，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
证明：如图所示，AB∥CD且AB=CD．
连接AC，则∠BAC=∠DCA，
在△ABC和△CDA中，

AB=CD(已知) ∠BAC=∠DCA AC=CA(公共边)

，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴∠BCA=∠DAC（全等三角形的对应角相等），
∴AD∥BD （内错角相等，两直线平行），
∴四边形ABCD是平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的性质与判定．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．