Question

（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题①6分、第(2)小题②4分）
直角三角板ABC中，∠A=30°，BC＝1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角（且≠ 90°），得到Rt△，
（1）如图9，当边经过点B时，求旋转角的度数；
（2）在三角板旋转的过程中，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥交边于点E，联结BE.
①当时，设，，求与之间的函数解析式及定义域；
②当时，求的长.

Answer 1

解：（1）在Rt△中，∵∠A=30°，
∴．………………………………………………………（1分）
由旋转可知：，，
∴△为等边三角形．……………（2分）
∴＝．……………（1分）
（2）① 当时，点D在AB边上（如图）.

∵ DE∥，
∴ .．…………………………………………………（1分）
由旋转性质可知，CA =，CB=， ∠ACD=∠BCE.
∴ ，．…………………………………………………（1分）
∴ .
∴ △CAD∽△CBE. ．………………………………………（1分）
∴.
∵∠A=30°
∴.……………………………………………（1分）
∴（0﹤﹤2）…………………………………………（2分）
②当时，点D在AB边上
AD=x，，∠DBE=90°.
此时，.
当S =时，.
整理，得 .
解得 ，即AD="1." …………………………………（2分）
当时，点D在AB的延长线上（如图）
.
仍设AD=x，则，∠DBE=90°..
.
当S =时，.
整理，得 .
解得 ，（负值，舍去）.
即.…………………………………………………（2分）
综上所述：AD=1或.

解析