Question

【题目】 如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；

（1）求证：OE=AC；

（2）求证：；

（3）当AC=6，AB=10时，求切线PC的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）PC=15．

【解析】

（1）由于D是的中点，利用垂径定理的推论，可证OD⊥BC，而AC⊥BC，故OD∥AC，又O是AB中点，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得BE:CE=OB:OA，从而可知E是BC中点，即OE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可证OE=AC；

（2）连接CD，连接CO并延长交圆O于点F，连接DF，先证明∠PCD=∠CAP，再利用两组角对应相等，证明△PCD∽△PAC，得出，结合CD=BD利用等式性质可证；

（3）连接BD，由AC=6，AB=10，利用勾股定理可求BC，进而求出BE、OE、DE，再利用勾股定理可求BD2、AD2，从而解出AD、BD、CD，结合（2）中的结论，利用比例性质，可求出DP、AP，那么可求CP2，从而求出CP．

（1）证明：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

又D为中点，

∴OD⊥BC，OD∥AC，

又O为AB中点，

∴E为BC的中点，即OE为△ABC的中位线，

∴；

（2）证明：连接CD，

连接CO并延长交圆O于点F，连接DF，

∵PC为切线，

∴∠PCD+∠DCO==90°，∠DCO+∠F=90°，

∴∠PCD=∠F，又∠F=∠CAP，

∴∠PCD=∠CAP，

又∠P为公共角，

∴△PCD∽△PAC，

∴，

∴

又CD=BD，

∴；

（3）解：连接BD，∵AC=6，AB=10，

∴BC=8，BE=4，OE=3，

∴DE=2，

∴BD2=DE2+BE2=20，∴BD=2，

∴AD2=AB2-BD2=80，∴AD=4，

∴AD=4，

又D为中点，∴CD=BD=2，

由（2），

∴，

由（1）中△PCD∽△PAC得，

∴CP2=DPAP=，

∴PC=15．