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    精英家教网在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm，长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1（cm/s）的速度向点B运动（运动开始时点M与点A重合），过M、N分别作AB的垂线交直角边于P、Q两点（如图），设线段MN运动的时间为t（s）时，△BNQ的面积为ycm2．
    （1）求出y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
    （2）当MN运动几秒钟后，y最大，最大值为多少？
    （3）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由．
    分析：（1）本题要分两种情况进行讨论：
    ①当Q在AC上运动时即当0≤t≤1时，可在直角三角形ANQ中，根据∠A的度数和AN的长表示出NQ的长，进而可根据三角形的面积公式得出y，t的函数关系式；
    ②当Q在BC上运动时即当1＜t≤7时，先根据AN的长表示出BN的值，然后在直角三角形BNQ中，根据∠CBN的度数求出NQ的长，然后同①；
    （2）可根据（1）得出的函数的性质，求出y的最大值及对应的t的值；
    （3）若要四边形PMNQ成为矩形，必须满足的条件是MP=QN，此时P在AC上，Q在BC上，可在直角三角形AMP和BNQ中分别用t表示出MP和NQ的长，然后根据MP=NQ求出t的值．
    解答：精英家教网解：（1）作CH⊥AB于H，
    ∵∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm
    ∴AB=8，AH=2，CH=2
    		3
    ，
    ①当0≤t≤1时点P，Q均在AC上，在Rt△ANQ中，
    ∵∠A=60°，AN=t+1，
    ∴NQ×tan60°=
    		3
    （t+1），
    又BN=AB-AM-MN=8-t-1=7-t，
    ∴y=
    1
    2
    BN•NQ=
    1
    2
    ×
    		3
    （t+1）×（7-t）=-
    		3
    2
    （t2-6t-7）；
    ②当1＜t≤7时，点Q在BC上，在Rt△BNQ中，
    ∵∠QBN=30°，BN=7-t，
    ∴NQ=BN×tan30°=
    		3
    3
    （7-t），
    ∴y=
    1
    2
    BN•NQ=
    1
    2
    ×
    		3
    3
    （7-t）×（7-t）=
    		3
    6
    （7-t）2，
    综上所述∴y=
    -
    		3
    2
    (t2-6t-7)，(0≤t≤1)
    		3
    6
    (t-7)2，(1＜t≤7)
    ；

    （2）当0≤t≤1时，二次函数y=-
    		3
    2
    （t2-6t-7）=-
    		3
    2
    [（t-3）2-16]，
    其对称轴为t=3，开口向下，
    当t≤3时y随t的增大而增大，
    故知当t=1时，y最大，其最大值为6
    		3
    cm2，
    又二次函数y=
    		3
    6
    （7-t）2在1＜t≤7时，y随t的增大而减小，
    而t=1时，亦有y=6
    		3
    ，
    综上所述，线段MN运动1（s）后即达到最大值，其最大值为6
    		3
    cm2；

    （3）若四边形MNQP为矩形，必需PM=QN，点P在AC上，点Q在BC上，
    在Rt△BNQ中，NQ=BN×tan30°=
    		3
    3
    （7-t），
    在Rt△APM中，PM=AM×tan60°=
    		3
    t，
    由PM=QN，得
    		3
    t=
    		3
    3
    （7-t），
    ∴t=
    7
    4
    ，
    ∴当t=
    7
    4
    （s）时，四边形MNQP为矩形．
    点评：本题考查了直角三角形的性质、二次函数的应用、矩形的判定等知识．综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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