Question

18．如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D；
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）如图2，延长DC至点G，联结BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，求证：CD²=DE•DG．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义得到∠ADC=∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠ACD=∠B，由于∠ADC=∠CDB，即可得到结论；
（2）根据∠ACB=90°，CD⊥AB，得到∠CAD=∠BCD，推出Rt△ACD∽Rt△CBD，于是得到CD²=AD•BD，根据AF⊥BG，GD⊥AB，证得∠EDA=∠EFG=∠GDP=90°，推出△BGD∽△ADE，于是得到AD•BD=DG•DE即可得到结论．

解答 证明：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠B=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，
又∵∠ADC=∠CDB，
∴△ACD∽△CBD；

（2）∵AF⊥BG，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAB+∠GBA=90°，
∵∠GDB=90°，
∴∠G+∠GBA=90°，
∴∠G=∠FAB，
又∵∠ADE=∠GDB=90°，
∴△ADE∽△GDB，
∴$\frac{AD}{GD}=\frac{DE}{BD}$，
∴AD•BD=DE•DG，
∵△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴CD²=AD•BD，
∴CD²=DE•DG．

点评 此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．