Question

如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．

①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段FG的长．

Answer 1

(1) BD=CF成立,证明见解析；（2）①证明见解析；②FG=.

试题分析：(1)证明线段相等的常用方法是三角形的全等，直观上判 断BD=CF,而由题目条件，旋转过程中出
现了两个三角形△BAD和△CAF，并且包含了要证明相等的两条线段BD和CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，只差夹角相等，在Rt△BAC中，∠BAD+∠DAC=90°，∠CAF+∠DAC="90°," ∴∠BAD="∠CAF," ∴△BAD≌△CAF, BD=CF.（2）①要证明BD⊥CF，只要证明∠BGC=90°，即∠GBC+∠BCG=∠GBC+∠ACF+∠ACB=90°,在Rt△BAC中，∠ABC+
∠ACB=∠ABG+∠GBC+∠BCA=90°,有（1）知，∠ACF=∠ABG，所以∠GBC+∠ACF+∠ACB=∠GBC+
∠ABG +∠ACB =90°，所以BD⊥CF.②求线段的方法一般是三角形的全等和勾股定理，题目中没有和FG直接相关的线段，而CG从已知条件中又无法求出，所以需要作辅助线，连接FD，交AC于点N, 在正方形ADEF中，AD=DE=, AN="1," CN=3,由勾股定理CF=，设FG=x，CG=，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=，∵在Rt△BCG中，，
∴，解之得FG=.
试题解析：②解法一：
如图，连接FD，交AC于点N,

∵在正方形ADEF中，AD=DE=,
∴AN=FN=AE=1，FD=2,
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC-AN=3，
∴在Rt△FCN中，,
∵△BAD≌△CAF（已证），∴BD=CF=,
设FG=，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=,
∵CF=，∴CG=,
∵在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，
∴,
∵在Rt△BCG中，,
∴ , 
整理，得,
解之，得，（不合题意，故舍去）
∴FG=.
解法二：
如图，连接FD，交AC于点N；连接CD,

同解法一，可得：DG=，CG=，
易证△ACD≌△ABD（SAS），可得CD=BD=，  
在Rt△CGD中，,即
解之，得,故FG= .