Question

【题目】在平面直角坐标系中（如图），点为直线和双曲线的一个交点，

（1）求、的值；

（2）若点，在直线上有一点，使得，请求出点的坐标；

（3）在双曲线是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）k=-，m=-4；（2）点P的坐标为（4，-1）或（-12，3）；（3）M（，）．

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，设直线y=-x与反比例函数y=-的另一个交点为C（4，-1）．由对称性可知：OA=OC，推出当点P与C重合时，S△ABP=2S△ABO，此时P（4，-1）．当点P在OA的延长线上时，P′A=AC时，S△ABP=2S△ABO，再利用中点坐标公式求解即可．
（3）如图2中，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，则A′（1.4），取AA′的中点D，作直线OD在第二象限交反比例函数于M．此时∠AOM=45°，求出直线OD的解析式，再构建方程组确定点M的坐标．

（1）∵点A（-4，1）在直线y=kx和双曲线y=的图象上，
∴k=-，m=-4．
（2）如图1中，设直线y=-x与反比例函数y=-的另一个交点为C（4，-1）．

由对称性可知：OA=OC，
∴当点P与C重合时，S△ABP=2S△ABO，此时P（4，-1）．
当点P在OA的延长线上时，P′A=AC时，S△ABP=2S△ABO，此时P′（-12，3），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，-1）或（-12，3）．
（3）如图2中，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，则A′（1.4），

取AA′的中点D，作直线OD在第二象限交反比例函数于M．此时∠AOM=45°，
∵D（-），
∴直线OD的解析式为y=-x，
由 ，解得 或 ，
∵点M在第二象限，
∴M（，）．