Question

【题目】如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D.

(1)求出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，S是否有最大值？如有，请求出最大值，没有请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线对称轴为直线x=1；（2）见解析

【解析】

试题（1）对于抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出A与B坐标，令x=0求出y的值确定出C的做准备，进而求出对称轴即可；（2）①根据B与C坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，进而表示出E与P坐标，根据抛物线解析式确定出D与F坐标，表示出PF，利用平行四边形的判定方法确定出m的值即可；②连接BF，设直线PF与x轴交于点M，求出OB的长，三角形BCF面积等于三角形BFP面积加上三角形CFP面积，列出S关于m的二次函数解析式，利用二次函数性质确定出S取得最大值时m的值即可．

试题解析：（1）对于抛物线y=﹣x2+2x+3，

令x=0，得到y=3；

令y=0，得到﹣x2+2x+3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，

解得：x=﹣1或x=3，

则A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线对称轴为直线x=1；

（2）①设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

把B（3，0），C（0，3）分别代入得：，

解得：k=﹣1，b=3，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

当x=1时，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2），

当x=m时，y=﹣m+3，

∴P（m，﹣m+3），

令y=﹣x2+2x+3中x=1，得到y=4，

∴D（1，4），

当x=m时，y=﹣m2+2m+3，

∴F（m，﹣m2+2m+3），

∴线段DE=4﹣2=2，

∵0＜m＜3，

∴yF＞yP，

∴线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，

连接DF，由PF∥DE，得到当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，

由﹣m2+3m=2，得到m=2或m=1（不合题意，舍去），

则当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；

②连接BF，设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3，

∵S=S△BPF+S△CPF=PFBM+PFOM=PF（BM+OM）=PFOB，

∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0＜m＜3），

则当m=时，S取得最大值．