Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点．

（1）若四边形OABC为矩形，如图1，

①求点B的坐标；

②若BQ：BP=1：2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；

（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F．若B1E： B1F=1：3，点B1的横坐标为，求点B1的纵坐标，并直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】B（4,2）；（3,0）；≤m≤1+或≤m≤3．

【解析】

根据矩形的性质得出点B的坐标；过点P作PD⊥OA，垂足为点D，点B关于PQ的对称点为，从而得出△PD∽△QA，即=2则A=1，得出O=3，即得出点的坐标；根据平行四边形的慈宁宫中得出OA=4，OC=2，OC⊥AC，得出点不与点E，F重合，也不在线段EF的延长线上，然后分点在线段EF的延长线上和点在线段EF（除点E，F）上两种情况分别进行计算，根据题意得出点的横坐标为m，根据比值得出G=m，设OG=a，从而得出GF和OF的长度，然后根据线段之间的关系得出a的值，从而求出m的取值范围．

（1）①∵OA=4，OC=2，
∴点B的坐标为（4，2）；

②如图1，过点P作PD⊥OA，垂足为点D

∵BQ：BP=1：2

点B关于PQ的对称点为

∴Q：P=1：2

∵∠PD=∠PQ=∠AQ=90°

∴∠PD=∠QA

∴△PD∽△QA

∴=2

∴A=1 ∴O=3

即点（3,0）．

（2）∵四边形OABC为平行四边形 OA=4，OC=2，且OC⊥AC

∴∠OAC=30°

∵E：F=1：3

∴点不与点E，F重合，也不在线段EF的延长线上

①当点在线段EF的延长线上时，如图2，延长F与y轴交于点G，点的横坐标为m，F∥x轴

E：F=1：3

∴G=m

设OG=a 则GF=，OF=

∴G=E+EF+FG=（2－）+（4－）+=m

∴a=－

即的纵坐标为－

m的取值范围是≤m≤1+．

②当点在线段EF（除点E，F）上时，如图3，延长F与y轴交于点G，点的横坐标为m

F∥x轴，E：F=1：3 ∴G=m 设OG=a 则 GF=，OF=

∴CF=2－∴FE=4－F=EF=3－a

∴G=F+FG=（3－）a+a=m

∴a=－即点的纵坐标为－

M的取值范围是≤m≤3