Question

已知：点P是正方形ABCD内的一点，连接PA、PB、PC．
（1）如图1．若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长．
（2）如图2，若PA²+PC²=2PB²，试说明点P必在对角线AC上．

Answer 1

解：（1）如图1，将△APB绕点B旋转至△CBP′，则△APB≌△CBP′，
∴P′C=PA=2，∠BP′C=∠BPA=135°，∠3=∠1，BP′=BP=4，
∴△BPP′是等腰直角三角形，PP′=4，∠PP′B=45°，∠PP′C=90°，
∴PC==6；

（2）如图2，将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．
同（1），可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′²=2PB²；
∵PA²+PC²=2PB²=PP′²，
∴PC²+P′C²=PP′²，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∵∠BPA=∠BP′C=90°，
∴∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上．
分析：（1）如图1，将△APB绕点B旋转至△CBP′，则由旋转的性质得到P′C=PA=2，∠BP′C=∠BPA=135°，∠3=∠1，BP′=BP=4，易证△BPP′是等腰直角三角形，所以
PC==6；
（2）如图2，将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股定理得∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即得点P必在对角线AC上．
点评：本题是一道综合性很强的题，考查了旋转的性质、正方形的性质以及勾股定理等相关知识，难度较大．