Question

如图，已知：在矩形ABCE中，点D是线段AE上的一个点，AB=3，AD=2，连接CD，过点D作PD⊥CD，交AB于点P．
（1）求证：△APD∽△EDC；
（2）求

PD

CD

的值；
（3）当△APD与△DPC相似时，求线段BC的长．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质得∠A=∠E=90°，再根据等角的余角相等可得到∠APD=∠CDE，然后根据相似三角形的判定方法即可得到△APD∽△EDC；
（2）由于△APD∽△EDC，利用相似比可计算得

PD

CD

=

AD

CE

=

2

3

；
（3）分类讨论：由△APD∽△EDC，所以当△APD∽△DPC时，则△EDC∽△DPC，利用相似比可计算出DE，从而得到BC；当△APD∽△DCP时，则△EDC∽△DCP，利用相似比可计算出DE，从而得到BC．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠E=90°，
∴∠APD+∠ADP=90°，
∵PD⊥DC，
∴∠ADP+∠CDE=90°，
∴∠APD=∠CDE，
∴△APD∽△EDC；

（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴EC=AB=3，
∵△APD∽△EDC，
∴

PD

CD

=

AD

CE

=

2

3

；

（3）∵△APD∽△EDC；
∴当△APD∽△DPC时，则△EDC∽△DPC，
∴

DE

DP

=

CE

DC

，
∴DE=

DP

DC

•CE=

2

3

×3=2，
∴AE=AD+DE=4，
∴BC=4；
当△APD∽△DCP时，则△EDC∽△DCP，
∴

DE

DC

=

EC

DP

，
∴DE=

DC

DP

•CE=

3

2

×3=

9

2

∴AE=AD+DE=

13

2

，
∴BC=

13

2

，
即线段BC的长为4或

13

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了矩形的性质．