Question

如图，AB是半圆O的直径，C是半圆（不含点A、B）上的一个动点，过C点的切线与AB的延长线交于点P．
（1）试探求∠A与∠P的数量关系；
（2）当∠PCB=30°时，证明：BP=

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AB；
（3）如果过点C的切线与AB的反向延长线相交，这时∠A的取值范围是多少？

Answer 1

分析：（1）根据弦切角定理可得∠PCB=∠A，根据直径所对的圆周角是直角表示出∠A与∠B的关系，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；
（2）先求出∠PCB=∠P=30°，再根据等角对等边的性质可得BP=BC，然后根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半可得BC=

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AB，然后即可证明；
（3）过点C的切线与AB的反向延长线相交时，点C的位置在弧AB的中点左侧，根据同圆中的弧与圆周角的关系可以求出∠A＞∠ABC，再根据直角三角形两锐角互余进行求解．

解答：（1）解：∵CP是半圆O的切线，
∴∠PCB=∠A，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，∠ABC=90°-∠A，
又∵∠ABC=∠P+∠PCB=∠P+∠A，
∴90°-∠A=∠P+∠A，
整理得，2∠A+∠P=90°；

（2）证明：∵∠PCB=30°，
∴∠A=30°，
∴∠P=90°-2∠A=90°-2×30°=30°，
∴∠P=∠PCB，
∴BP=BC，
在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，
∴BC=

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AB，
∴BP=

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AB；

（3）解：过点C的切线与AB的反向延长线相交，则点C位于弧AB的中点左侧，
∴∠A＞∠ABC，
∴∠A＞

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×90°=45°，
又∠A是Rt△ABC的锐角，
∴∠A的取值范围是45°＜∠A＜90°．

点评：本题考查了圆的切线性质，弦切角定理，三角形的内角和定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质以及圆周角定理，熟记各性质与定理是解题的关键．