Question

如图：在平面直角坐标系中，直线AB：与坐标轴交于A、B两点，⊙O₁与线段AO、AB、BO分别相切于点C、D、E，
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求⊙O₁的半径；
（3）若⊙O₂分别与线段AO的延长线、BO、AB的延长线相切于F、G、H，求⊙O₂的半径；
（4）用尺规作图作出分别与线段AO、BO的延长线、BA的延长线相切的⊙O₃，并直接写出⊙O₃的半径长．

Answer 1

解：（1）∵A、B两点与直线相交，
∴当x=0时，y=4，当y=0时，x=3，
∴A（0，4），B（3，0）；

（2）∵A（0，4），B（3，0）
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∴⊙O₁的半径为：=1；

（3）由题意可知AF=AH，OF=OG，BG=BH
设 OF=OG=x，则 BG=BH=3-x，
在 Rt△AOB中，AO+OF=AB+BH
∴4+x=5+（3-x），
∴x=2，
∴⊙O₂的半径为2，

（4）如图所示，设切点为Q，W，
由题意可得：AQ=AW，
AQ+AB=r+OB，AW+r=4，
即AQ+5=r+3，AQ+r=4
解得：r=3，
当与BO、BA延长线及AO相切时，旁切圆半径为：3．
分析：（1）根据直线AB与坐标轴交于A、B两点，即可求出A、B点的坐标；
（2）根据A、B两点坐标求出OA=4，OB=3，再求出AB=5，进而得出三角形内切圆半径；
（3）利用切线长定理求出AO+OF=AB+BH，进而得出即可；
（4）利用旁心的性质得出圆的位置，进而得出答案．
点评：此题考查了一次函数与切线长定理的综合应用，根据一次函数解析式求出A，B两点的坐标再利用切线长定理得出是解题关键．