Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2+ x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1 ， C1 ， 且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：△ABC为直角三角形，

当y=0时，即﹣ x2+ x+3=0，

∴x1=﹣ ，x2=3

∴A（﹣ ，0），B（3 ，0），

∴OA= ，OB=3 ，

当x=0时，y=3，

∴C（0，3），

∴OC=3，

根据勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36，

∴AC2+BC2=48，

∵AB2=[3 ﹣（﹣ ）]2=48，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形

（2）

解：如图，

∵B（3 ，0），C（0，3），

∴直线BC解析式为y=﹣ x+3，

过点P作∥y轴，

设P（a，﹣ a2+ a+3），

∴G（a，﹣ a+3），

∴PG=﹣ a2+ a，

设点D的横坐标为xD，C点的横坐标为xC，

S△PCD= ×（xD﹣xC）×PG=﹣ （a﹣ ）2+ ，

∵0＜a＜3 ，

∴当a= 时，S△PCD最大，此时点P（ ， ），

将点P向左平移 个单位至P′，连接AP′，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M，

连接PM，点Q沿P→M→N→A，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，

∴P（ ， ）

∴P′（ ， ），

∵点A（﹣ ，0），

∴直线AP′的解析式为y= x+ ，

当x=0时，y= ，

∴N（0， ），

过点P′作P′H⊥x轴于点H，

∴AH= ，P′H= ，AP′= ，

∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN= + = ；

（3）

解：在Rt△AOC中，

∵tan∠OAC= = ，

∴∠OAC=60°，

∵OA=OA1，

∴△OAA1为等边三角形，

∴∠AOA1=60°，

∴∠BOC1=30°，

∵OC1=OC=3，

∴C1（ ， ），

∵点A（﹣ ，0），E（ ，4），

∴AE=2 ，

∴A′E′=AE=2 ，

∵直线AE的解析式为y= x+2，

设点E′（a， a+2），

∴A′（a﹣2 ， ﹣2）

∴C1E′2=（a﹣2 ）2+（ +2﹣ ）2= a2﹣ a+7，

C1A′2=（a﹣2 ﹣ ）2+（ ﹣2﹣ ）2= a2﹣ a+49，

①若C1A′=C1E′，则C1A′2=C1E′2

即： a2﹣ a+7= a2﹣ a+49，

∴a= ，

∴E′（ ，5），

②若A′C1=A′E′，

∴A′C12=A′E′2

即： a2﹣ a+49=28，

∴a1= ，a2= ，

∴E′（ ，7+ ），或（ ，7﹣ ），

③若E′A′=E′C1，

∴E′A′2=E′C12

即： a2﹣ a+7=28，

∴a1= ，a2= （舍），

∴E′（ ，3+ ），

即，符合条件的点E′（ ，5），（ ，7+ ），或（ ，7﹣ ），（ ，3+ ）

【解析】（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形；（2）先求出S△PCD最大时，点P（ ， ），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，计算即可；（3）△A′C1E′是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可．此题是二次函数综合题，主要考查了函数极值的确定方法，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的最值的相关知识，掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a，以及对勾股定理的逆定理的理解，了解如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．