Question

已知关于x的方程m²x²+（2m+3）x+1=0①的两实根的乘积等于1．
（1）求证：关于x的方程（k-2）x²-2（k-m）x+（k+m）=0（k≤3）方程②有实数根；
（2）当方程②的两根的平方和等于两根积的2倍时，它的两个根恰为△ABC的两边长，若△ABC的三边都是整数，试判断它的形状．

Answer 1

分析：（1）因为关于x的方程m²x²+（2m+3）x+1=0有两个两实根，所以它是一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出m≠0，又因为此二实根的乘积等于1，由根与系数的关系得出

1

m2

=1，解这个分式方程，求出m的值，再代入方程①检验，确定m的值，然后把m的值代入方程②，证明方程②中的判别式△≥0即可；
（2）设x₁、x₂是方程②的两根，由已知条件两根的平方和等于两根积的2倍得出x₁²+x₂²=2x₁x₂①，由根与系数的关系得出x₁+x₂=

2(k-1)

k-2

②，x₁•x₂=

k+1

k-2

③．变形①式，可得x₁=x₂④，把④式分别代入②③，建立关于k的方程，求出k的值，再由三角形三边关系定理及已知条件确定第三边的长度，进而判断三角形的形状．

解答：证明：（1）∵方程①两实根乘积等于1，
∴m≠0，

1

m2

=1，m=±1，
经检验m=±1是方程的根．
当m=1时，x²+5x+1=0，符合题意．
m=-1时，x²+x+1=0，△=1-4＜0．
∴m=-1舍去，
∴m=1．
把m=1代入方程②，得（k-2）x²-2（k-1）x+（k+1）=0（k≤3）．
当k=2时，方程②为一元一次方程，-2x+3=0，x=

3

2

，有实根；
当k≤3且k≠2时，方程②为一元二次方程，（k-2）x²-2（k-1）x+k+1=0，
∵△=[-2（k-1）]²-4（k-2）（k+1）=4（k-1）²-4（k-2）（k+1）=4（k²-2k+1）-4（k²-k-2）=-4k+12，
又∵k≤3，
∴-4k≥-12，
∴-4k+12≥0，
∴方程②有实根．
综上，可知关于x的方程（k-2）x²-2（k-m）x+（k+m）=0（k≤3）有实数根；
（2）设x₁、x₂是方程②的两根，由题意，得
x₁²+x₂²=2x₁x₂①，x₁+x₂=

2(k-1)

k-2

②，x₁•x₂=

k+1

k-2

③，
由①得x₁²+x₂²-2x₁x₂=0，
∴（x₁-x₂）²=0，
∴x₁=x₂④．
把④式代入②，得2x₁=

2(k-1)

k-2

，∴x₁=

k-1

k-2

，
把④式代入③，得x₁²=

k+1

k-2

，
∴(

k-1

k-2

)2=

k+1

k-2

，k≠2，(k-1)2=(k+1)(k-2)，
∴k=3．
当k=3时，x₁=x₂=2．
∵△ABC三边均为整数，
∴设第三边为n，则2-2＜n＜2+2，
∴0＜n＜4．
∵n是整数，
∴n=1，2，3．
当n=2时，△ABC为等边三角形．
当n=1或3时，△ABC为等腰三角形，其中n=1时，是等腰锐角三角形；n=3时，是等腰钝角三角形．

点评：本题主要考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，一元一次方程、分式方程的解法，三角形三边关系定理及三角形的分类，综合性较强，难度中等．