如图,在△ABC中,点A,B分别在x轴的正、负半轴上(其中OA<OB),点C在y轴的正半轴上,AB=10,OC=4,∠ABC=∠ACO.
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;
(2)点D的坐标为(﹣4,0),P是该抛物线上的一个动点.
①直线DP交直线BC于点E,当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标;
②连结CD,CP,若∠PCD=∠CBD,请求出点P的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】
(1)利用△BOC~△C0A得出比例式求出OA,OB,从而得出A(2,0),B(﹣8,0),再利用两根式求解析式的方法即可求解;
(2)①根据点E在直线BC上,设出点E的坐标,再根据平面坐标系中两点间的距离公式分别求出BE=,DE=,BD=4,而△BDE为等腰三角形,分三种情况:BE=BD,BE=DE,BD=DE,再求解方程,从而得到点E的坐标;
②根据∠PCD=∠CBD作出直角三角形,利用平面坐标系中互相垂直的直线的比例系数之积为﹣1,根据直线CD的解析式为y=x+4,设出直线PF的解析式为y=﹣x+4,利用锐角的三角函数求出CF=2PF,设出点P的坐标,确定出CF=,PF=,求解绝对值方程即可.
【解答】解:(1)设OA=x,则OB=10﹣x,
∴∠ABC=∠ACO,∠AOC=∠COB,
∴△BOC~△C0A,
∴=,
∴OC2=OA×OB,
∴16=x(10﹣x),
∴x=8或x=2,
∴A(2,0),B(﹣8,0),
设抛物线的解析式为y=a(x+8)(x﹣2)
∴4=(0+8)(0﹣2),
∴a=﹣,
∴y=﹣(x+8)(x﹣2)=﹣x2﹣x+4.
(2)
①∵B(﹣8,0),C(0,4),
∴直线BC的解析式为y=x+4,
设E(m,m+4),且B(﹣8,0),D(0,4),
∴BE=,DE=,BD=4,
∵△BDE为等腰三角形,
Ⅰ、当BE=DE时,有=,
∴m=﹣6,
∴m+4=1,
∴E(﹣6,1),
Ⅱ、当BE=BD时,有=4,
∴m=或m=,
∴E(,),E(,﹣),
Ⅲ、当BD=DE时,有=4,
∴m=﹣或m=﹣8(舍)
∴E(﹣,),
∴E(﹣6,1),E(,),E(,﹣),E(﹣,).
②∵C(0,4),D(﹣4,0),
∴直线CD的解析式为y=x+4,
作PF⊥CD,设直线PF的解析式为y=﹣x+4,
∴F(,),
设P(m,﹣m+b),
∴﹣m+b=﹣m2﹣m+4,
∴b=﹣m2﹣m+4,
∵P(﹣m,﹣m+b),F(,),C(0,4),
∴CF==,
PF==,
∵tan∠CBD=,∠CBD=∠PCF,
∴tan∠PCF==,
∴CF=2PF,
∴=2×,
∴m=﹣或m=﹣18,
∴b=﹣m2﹣m+4=﹣或b=﹣m2﹣m+4=﹣68,
∴P(﹣,)或P(﹣18,﹣50).
【点评】本题是二次函数的综合题,涉及到的知识点有,平面坐标系中两点间的距离公式,如BE=,DE=,BD=4,相似矩形的判定和性质,求解方程,解题的关键是利用平面坐标系中两点间的距离公式和作出辅助线.
科目:初中数学 来源: 题型:
H7N9”是一种新型禽流感,其病毒颗粒呈多形性,其中球形病毒的最大直径为0.00000012 米,
0.00000012 用科学记数法表示为( )
(A)1.2×10-9 (B)1.2 ×10-8 (C)12×10-8 (D)1.2×10-7
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科目:初中数学 来源: 题型:
为了解八年级学生参加社会实践活动情况,教育局随机抽查了某区部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数,并用得到的数据绘制出如下的统计图①和图②,请根据图中提供的相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)本次接受随机抽样调查的八年级学生人数为 ,图①中 a 的值为 .
(Ⅱ)在这次抽样调查中,众数和中位数分别是多少?
(Ⅲ)如果该市共有八年级学生 80000 人,请你估计“活动时间不少于 7 天”的学生人数大约有多少人?
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科目:初中数学 来源: 题型:
如图,点O是矩形ABCD的边AD的中点,以O为圆心画,一个动点P从O出发沿线段OA→线段AB→→线段CD→线段DO作匀速运动,最后回到点O,设OP=y,运动时间为x,则y关于x的函数图象可能是( )
A. B. C. D.
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