Question

已知x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，c≠0）的两个实数根，且

x1

x2

=

m

n

（m≠0，n≠0）．
（1）试求用m和n表示

b2

ac

的式子；
（2）是否存在实数m和n，满足

x1

x2

=

m

n

使

b2

ac

=

6

5

成立？若存在，求出m和n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由一元二次方程的根与系数的关系得到x₁+x₂=-

b

a

①，x₁x₂=

c

a

②，由已知

x1

x2

=

m

n

变形后代入①②，联立方程，消去x，就可得到

b2

ac

值．
（2）由于

(m+n)2

mn

=

6

5

成立，设出适当的参数，建立关于以m+n和mn为两根的新的一元二次方程，求得其△的符号后，来判定根的情况后，决定是否存在m，n的值．

解答：解：（1）由题意得，x₁+x₂=-

b

a

①，x₁x₂=

c

a

②．
由

x1

x2

=

m

n

，得x₁=

m

n

x₂③．
把③代入①，得x₂=-

bn

a(m+n)

．
把③代入②得x²₂=

nc

am

．
消去x₂，得

b2

ac

=

(m+n)2

mn

．

（2）若

(m+n)2

mn

=

6

5

成立，
设（m+n）²=6k，mn=5k（k＞0）．
则m+n=±

6k

，mn=5k．
若m，n存在，应是方程x²±

6k

z+5k=0的根．
∵△=（±

6k

）²-20k=-14k＜0（k＞0）．
∴m、n不存在．

点评：解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根；
（4）x₁+x₂=-

b

a

；
（5）x₁•x₂=

c

a

．