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如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题：
（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出
的值（用含α的式子表示出来）
（1）BF=CD．证明详见解析；（2）不成立，
；（3）
.
解析试题分析：本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究．（1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD，即可得到BF=CD；
（2）如答图③所示，连接OC、OD，可证明△BOF∽△COD，进而求出相似比为
；（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，进而可求相似比为
.
试题解析：
解：（1）猜想：BF=CD．理由如下：如答图②所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF与△COD中，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD．
（2）答：（1）中的结论不成立．
如答图③所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，
∴
，∠BOC=90°
∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，
∴
，∠DOF=90°．
∴
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴ ．
（3）如答图④所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，
∴
，∠BOC=90°
∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，
∴
，∠DOF=90°．
∴
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴ ．
考点：几何图形变换综合题．
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部
，颖颖的头顶
及亮亮的眼睛
恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置
，
．然后测出两人之间的距离
，颖颖与楼之间的距离
（，，
在一条直线上），颖颖的身高
，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离
．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，在△ABC中，∠B= 90°，点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动。
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于8厘米2？
（2）如果P、Q两分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，△PCQ的面积等于12﹒6厘米2 ？
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
已知△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，联结AF、AE，交BD于点G．
（1）如图（1），求证：∠EAF=∠ABD；
图（1）
（2）如图（2），当AB=AD时，M是线段AG上一点，联结BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=
∠BAF，AF=
AD，试探究线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．
图（2）
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
已知：如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接BC．
（1）线段BC、BE、AB应满足的数量关系是 ；
（2）若点P是优弧
上一点（不与点C、A、D重合），连接BP与CD交于点G.
请完成下面四个任务：
①根据已知画出完整图形，并标出相应字母；
②在正确完成①的基础上，猜想线段BC、BG、BP应满足的数量关系是 ；
③证明你在②中的猜想是正确的；
④点P′恰恰是你选择的点P关于直径AB的对称点，那么按照要求画出图形后在②中的猜想仍然正确吗？ ；（填正确或者不正确，不需证明）
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
已知:如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED =∠B.若AE=5，AB=9，CB=6.
（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求ED的长.
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF=45°.
（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想.
（2）设BE=x，DF=y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），如图1，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围.
（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心以BE为半径的⊙E和以F为圆心以FD为半径的⊙F之间的位置关系.
（4）当点E在BC延长线上时，设AE与CD交于点G，如图2.问⊿EGF与⊿EFA能否相似，若能相似，求出BE的值，若不可能相似，请说明理由.
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.
（1）设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 , 则S1 S2+ S3(用“>”、“=”、“<”填空)；
（2）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.
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中，过点
作
，垂足为点
，连接
，
为线段
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的长．