Question

【题目】如图，是的直径，点在上，，垂足为，，分别交延长线于点．

（1）过点作直线，使得，判断直线与的位置关系，并说理．

（2）若，，求的长．

（3）连接，探索线段与间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线与相切，理由详见解析；（2） ；（3），证明详见解析．

【解析】

（1）连接OA，根据得到，由BC是直径，，得到，推出，利用得到，推出，即可得到直线与相切的结论；

（2）过点A作AM⊥BG于M，根据得到∠ACB=∠ABE，证得△AMB∽△BAC，得到，利用勾股定理求出BC=5，即可求出，再证明△ABM∽△GBA，求出BG=；

（3）在上截取，连接．证明，得到，由得到，推出.

（1）解：直线与相切，

理由：连接OA，

∵，

∴，

∵BC是直径，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴直线与相切．

（2）过点A作AM⊥BG于M，

∵，

∴∠ACB=∠ABE，

∵∠BAC=∠AMB=90°，

∴△AMB∽△BAC，

∴，

∵∠BAC=90°，，，

∴BC=5，

∴，

∴，

∵∠BAC=∠AMB=90°，∠ABM=∠GBA，

∴△ABM∽△GBA，

∴，

∴，

∴BG=；

（3）．

理由：在上截取，连接．

∵ ，

∴，

又∵，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴.