Question

【题目】如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，

①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；

②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）①P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）。

②当t=﹣时，S△PCD的最大值为。

【解析】试题分析：（1）由三角函数的定义可求得OB，再结合旋转可得到A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）①△COD为直角三角形，可知当△CEF与△COD相似时有两种情况，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，当PE⊥CE时，则可得抛物线的顶点满足条件，当PE⊥CD时，过P作PG⊥x轴于点G，可证△PGE∽△COD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点坐标；②可求得直线CD的解析式，过P作PN⊥x轴于点N，交CD于点M，可用t表示出PM的长，当PM取最大值时，则△PCD的面积最大，可求得其最大值．

试题解析：（1）∵OA=1．tan∠BAO=3，

∴=3，解得OB=3，

又由旋转可得OB=OC=3，

∴A（1，0），B（0，3），C（-3，0），

设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入可得

，解得，

∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3，

（2）①由（1）可知抛物线对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，4），

∵△COD为直角三角形，

∴当△CEF与△COD相似时有两种情况，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，

若∠FEC=90°，则PE⊥CE，

∵对称轴与x轴垂直，

∴此时抛物线的顶点即为满足条件的P点，此时P点坐标为（-1，4）；

若∠EFC=90°，则PE⊥CD，

如图，过P作PG⊥x轴于点G，

则∠GPE+∠PEG=∠DCO+∠PEG，

∴∠GPE=∠OCD，且∠PGE=∠COD=90°，

∴△PGE∽△COD，

∴，

∵E（-1，0），G（t，0），且P点横坐标为t，

∴GE=-1-t，PG=-t2-2t+3，

∴，解得t=-2或t=3，

∵P点在第二象限，

∴t＜0，即t=-2，

此时P点坐标为（-2，3），

综上可知满足条件的P点坐标为（-1，4）或（-2，3）；

②设直线CD解析式为y=kx+m，

把C、D两点坐标代入可得，解得，

∴直线CD解析式为y=x+1，

如图2，过P作PN⊥x轴，交x轴于点N，交直线CD于点M，

∵P点横坐标为t，

∴PN=-t2-2t+3，MN=t+1，

∵P点在第二象限，

∴P点在M点上方，

∴PM=PN-MN=-t2-2t+3-（t+1）=-t2-t+2=-（t+）2+，

∴当t=-时，PM有最大值，最大值为，

∵S△PCD=S△PCM+S△PDM=PMCN+PMNO=PMOC=PM，

∴当PM有最大值时，△PCD的面积有最大值，

∴（S△PCD）max=×=，

综上可知存在点P使△PCD的面积最大，△PCD的面积有最大值为．