Question

【题目】（1）操作：如图，点为线段的中点，直线与相交于点，请利用图画出一对以点为对称中心的全等三角形，（不写画法）.

根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：

（2）探究一：如图，在四边形中，为边的中点，与的延长线相交于点，试探究线段与，之间的等量关系，并证明你的结论.

（3）探究二，如图，相交于点，交于点，且，若，求的长度.

Answer 1

【答案】（1）如图所示见解析；（2），理由见解析；（3）DF=9.

【解析】

（1）根据全等三角形的判定中的边角边为作图的理论依据，来画出全等三角形．
（2）通过作辅助线将AB，FC，AF构建到一个相关联的三角形中，延长交的延长线于点.不难证明△ABE≌△GCE，那么AB=CG，根据，即可得出与，之间的等量关系.

（3）本题的作法与（2）类似，延长DE、CF交于点G，不难得出△ABE∽△GCE，
可根据线段的比例关系和AB的值得到CG的值，然后就能得出FG的值，同（2）可得出△DFG是等腰三角形，那么DF=GF，即可求出DF的值．

（1）如图所示

连接，过点作交于点.

（2）解：，理由如下：如图，延长交的延长线于点.

，，，，

.

为中点，

，

，

（3）延长交的延长线于点，如图

，

，

，

，