Question

如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式．
（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P，使S_△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；
（2）首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N有3个；
（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S_△PBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解．
解答：解：（1）∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（-1，0），B（0，3）；
∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）．
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，
∴，
解得k=-1，b=3，
∴直线BD的解析式为：y=-x+3．
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
∵点B（0，3）在抛物线上，
∴3=a×（-1）×（-3），
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．

（2）抛物线的解析式为：y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1）．
直线BD：y=-x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，
∴M（2，1）．
设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MN=1，
∴△MCD为等腰直角三角形．
∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，
∴△BND为等腰直角三角形．
如答图1所示：
（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，
∴N₁（0，0）；
（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，
∵OB=OD=ON₂=3，
∴N₂（-3，0）；
（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，
∵OB=OD=ON₃=3，
∴N₃（0，-3）．
∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（-3，0）或（0，-3）．

（3）假设存在点P，使S_△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．
（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m-3．
S_△PBD=S_梯形PEOB-S_△BOD-S_△PDE=（3+n）•m-×3×3-（m-3）•n=6，
化简得：m+n=7 ①，
∵P（m，n）在抛物线上，
∴n=m²-4m+3，
代入①式整理得：m²-3m-4=0，
解得：m₁=4，m₂=-1，
∴n₁=3，n₂=8，
∴P₁（4，3），P₂（-1，8）；
（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：
过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=-n，BE=3-n．
S_△PBD=S_梯形PEOD+S_△BOD-S_△PBE=（3+m）•（-n）+×3×3-（3-n）•m=6，
化简得：m+n=-1 ②，
∵P（m，n）在抛物线上，
∴n=m²-4m+3，
代入②式整理得：m²-3m+4=0，△=-7＜0，此方程无解．
故此时点P不存在．
综上所述，在抛物线上存在点P，使S_△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（-1，8）．
点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．