Question

如图，△ABC是等边三角形，∠B、∠C的平分线相交于点O，OM∥AC，ON∥AB，分别交BC于点M、N，求证：BN=MN=MC．

Answer 1

分析：由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再由ON与AB平行，OM与AC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ONM=∠ABC=60°，∠OMN=∠ACB=60°，可得出三角形OMN三内角相等，即三角形OMN为等边三角形，得出三边相等，再由BO为角平分线得到一对角相等，ON平行于AB得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到ON=BN，同理得到OM=MC，等量代换得到BN=MN=MC，得证．

解答：证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵OM∥AC，ON∥AB，
∴∠ONM=∠ABC=60°，∠OMN=∠ACB=60°，
∴∠MON=60°，
∴△OMN是等边三角形，
∴ON=OM=MN，
又∵ON∥AB，BO平分∠ABC，
∴∠2=∠3，∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴ON=BN，
同理OM=MC，
∴BN=MN=MC．

点评：此题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的性质，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．