Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为　　．

Answer 1

5（）⁴⁰²⁰

试题分析：先利用ASA证明△AOD和△A₁BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A₁B，所以正方形A₁B₁C₁C的边长等于正方形ABCD边长的，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的，然后即可求出第2011个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2011个正方形的面积．
解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=180°﹣90°=90°，
又∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
在△AOD和A₁BA中，，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴==2，
∴BC=2A₁B，
∴A₁C=BC，
以此类推A₂C₁=A₁C，
A₃C₂=A₂C₁，
即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍，
∴第2011个正方形的边长为（）²⁰¹⁰BC，
∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2），
∴BC=AD==，
∴第2011个正方形的面积为[（）²⁰¹⁰BC]²=5（）⁴⁰²⁰．
故答案为：5（）⁴⁰²⁰．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质与正方形的性质，根据规律推出第2011个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系是解题的关键，也是难点，本题综合性较强．