Question

【题目】如图，抛物线y=nx2﹣3nx﹣4n（n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），且抛物线与y轴交于点A．

（1）点B的坐标为　 　，点C的坐标为　 　；

（2）若∠BAC=90°，求抛物线的解析式．

（3）点M是（2）中抛物线上的动点，点N是其对称轴上的动点，是否存在这样的点M、N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0），（4，0）；（2）y=﹣x2+x+2；（3）点M的坐标分别为：（﹣，﹣）或（，﹣）或（，）．

【解析】

（1）利用x轴上点的坐标特点即可得出结论；
（2）判断出△AOB∽△COA，建立方程求出OA，进而得出点A坐标，最后用待定系数法即可的结论；
（3）设出点M，N的坐标，分三种情况，利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论．

（1）令y=0，

∴nx2-3nx-4n=0，

∵n＜0，

∴x2-2x-4=0,

∴x=-1或x=4,

∴B(-1,0),C(4,0)；

（2）∵∠BAC=90°，AO⊥BC，

易证△AOB～△COA，

∴，，

∴OA=2，

故A（0，2），

则设抛物线的解析式为：y=a(x-x1)( x-x2),

把A（0，2）、B（-1，0）、C（4，0）代入上式得，-4a=2，

∴，

∴，

∴对称轴直线为，

∴设N（，b），M（m，），

以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，

∴①当AC为对角线时，，

∴.

∴M（，）.

②当AM为对角线时，，

∴.

∴M（，-）.

③当AN为对角线时，，

∴.

∴M（，-）.

即：抛物线上存在这样的点M，点M的坐标分别为：M（，）或（，-）或（，-）.