Question

在平面直角坐标系xOy中：已知抛物线y=-

1

2

x2+(m2-m-

5

2

)x+

1

3

(5m+8)的对称轴为x=-

1

2

，设抛物线与y轴交于A点，与x轴交于B、C两点（B点在C点的左边），锐角△ABC的高BE交AO于点H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使BP将△ABH的面积分成1：3两部分？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意：x=-

m2-m- 5 2

- 1 2 ×2

=-

1

2

，
化简，得：m²-m-2=0
解得：m₁=-1，m₂=2；
当m=-1时，函数解析式为：y=-

1

2

x²-

1

2

x+1（如右图），其中△ABC不符合锐角三角形的特点，故m=-1舍去；
当m=2时，函数解析式为：y=-

1

2

x²-

1

2

x+6；
综上，抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²-

1

2

x+6．

（2）由（1）知：抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²-

1

2

x+6（如右图）；
令x=0，则y=6，即 A（0，6）；
令y=0，-

1

2

x²-

1

2

x+6=0，解得：x₁=3，x₂=-4；即 B（-4，0）、C（3，0）；
∠OAC=∠HBO=90°-∠ACO，又∠AEH=∠BOH=90°，
∴Rt△BOH∽Rt△AOC，
∴

BO

AO

=

OH

OC

，即

4

6

=

OH

3

，OH=2，AH=4；
在线段AH上取AM=HN=

1

4

AH=1，则 M（0，5）、N（0，3）；
设直线BM的解析式为：y=kx+5，则有：-4k+5=0，k=

5

4

；
∴直线BM：y=

5

4

x+5．
同理，直线BN：y=

3

4

x+3．
联立直线BM和抛物线y=-

1

2

x²-

1

2

x+6，有：

y= 5 4 x+5 y=- 1 2 x2- 1 2 x+6

，
解得：

x1=-4 y1=0

，

x2= 1 2 y2= 45 8

∴P₁（

1

2

，

45

8

）；
同理，求直线BN与抛物线的交点P₂（

3

2

，

33

8

）；
综上，存在符合条件的P点，且坐标为：P₁（

1

2

，

45

8

）、P₂（

3

2

，

33

8

）．