Question

28、如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；

（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知条件，证明ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；
（2）同（1），先证ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC．

解答：（1）证明：∵AB=AC，AD=CE，BD⊥DE，CE⊥DE，
∴ABD≌△ACE．
∴∠DAB=∠EAC，∠DBA=∠CAE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．

（2）AB⊥AC，
∵AB=AC，AD=CE，BD⊥DE，CE⊥DE，
∴△ABD≌△ACE．
∴∠DAB=∠CAE，∠DBA=∠CEA．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠CAE+∠CEA=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∴∠BAC=90°．
∴AB⊥AC．

点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用．