Question

【题目】如图，在中，，平分交于点，点为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接，连接交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）设，，试用含，的代数式表示线段的长；

（3）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AD＝；（3）

【解析】

（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；

（2）连接EF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到△ABD与△ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；

（3）设圆的半径为r，由sin∠B的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由此求出AF，根据（2）中结论AD＝求出AD，再根据AF∥OD找出相似比，进而求出DG的长即可．

证明：（1）连接OD

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD＝∠CAD

∵OA＝OD

∴∠ODA＝∠OAD

∴∠ODA＝∠CAD

∴OD∥AC

∵∠ODC＝∠C＝90°

∴OD⊥BC

即BC为⊙O的切线

（2）连接EF

∵AE为⊙O的直径

∴∠AFE＝∠C＝90°

∴EF∥BC

∴∠B＝∠AEF＝∠ADF

∵∠BAD＝∠DAF

∴△ABD∽△ADF

∴，即

则AD＝

（3）设圆的半径为r，则OD=r，OB=r+5

在Rt△BOD中，sin∠B＝＝

即＝

解得：r＝3

∴AE＝6，AB＝11

在Rt△AEF中，AF＝AEsin∠AEF＝AEsin∠B＝6×＝

∵AF∥OD，

∴， 即

则DG＝AD＝